An inequality for the Perron and Floquet eigenvalues of monotone differential systems and age structured equations

For monotone linear differential systems with periodic coefficients, the (first) Floquet eigenvalue measures the growth rate of the system. We define an appropriate arithmetico-geometric time average of the coefficients for which we can prove that the Perron eigenvalue is smaller than the Floquet eigenvalue. We apply this method to Partial Differential Equations, and we use it for an age-structured systems of equations for the cell cycle. This opposition between Floquet and Perron eigenvalues models the loss of circadian rhythms by cancer cells. Une inégalité pour les valeurs propres de Floquet et de Perron de systèmes différentiels monotones et d’équations structurées en âge Résumé. La (première) valeur propre de Floquet décrit le taux de croissance des systèmes différentiels linéaires monotones à coefficients périodiques. Nous définissons une moyenne arithméticogéométrique en temps des coefficients, qui nous permet de démontrer que la valeur propre de Perron pour le système ainsi moyenné est plus petite que celle de Floquet. La méthode s’applique aux Équations aux Dérivées Partielles et nous l’utilisons pour un système d’équations structurées en âge qui décrit le cycle cellulaire. Cette opposition entre valeurs propres de Floquet et de Perron modélise la perte de contrôle circadien pour le cycle cellulaire des cellules cancéreuses. Version française abrégée Les systèmes biologiques sont souvent soumis à des contrôles périodiques. Un exemple en est fourni par le rythme circadien (journalier) qui trouve son origine au niveau des noyaux suprachiasmatiques de l’hypothalamus dans un réseau de régulation génique à présent bien étudié [9, 1]. Une question médicale reliée est de comprendre l’influence de ce rythme sur la croissance des populations de cellules tumorales, en particulier dans une perspective thérapeutique. Un cadre mathématique naturel pour étudier cette question est fourni par la théorie des équations physiologiquement structurées. The second author was partially supported by the joint RFBR-CNRS grant number 05-01-02807 J. Clairambault, S. Gaubert, B. Perthame Dans cette note, nous proposons de comparer la (première) valeur propre de Floquet, qui décrit la croissance d’un système dont les paramètres sont soumis à un contrôle périodique, et la valeur propre de Perron, qui décrit la croissance du même système, mais à coefficients moyennés. Pour parvenir à cette comparaison, nous introduisons une moyenne arithmético-géométrique appropriée, dans trois cas : Équations Différentielles Ordinaires, système dynamique discret, Équations aux Dérivées Partielles (EDP) structurées en âge. Le premier cas concerne un système différentiel linéaire monotone périodique. Soit t 7→ A(t) une application T -périodique, à valeurs dans R, intégrable sur [0, T ], et considérons l’équation différentielle Ẋ(t) = A(t)X(t), où X est absolument continue et X(0) est prescrit. Nous supposerons que pour i 6= j, on a Aij(t) ≥ 0 pour presque tout t, ce qui garantit que le flot en temps positif associé à cette équation différentielle préserve l’ordre partiel usuel de R. Les propriétés spectrales de cette équation différentielle relèvent alors de la théorie de Perron-Frobenius. En particulier, la première valeur propre de Floquet, λper, est le plus grand réel tel qu’il existe une fonction absolument continue X , T -périodique, à valeurs dans R d + (où R+ désigne l’ensemble des réels positifs ou nuls), et non identiquement nulle, telle que l’équation différentielle (1) soit satisfaite. Rappelons que la moyenne arithmétique d’une fonction T -périodique u(t) est donnée par (2), et définissons la matrice Ā par (3). Cette matrice à coefficients hors diagonaux positifs ou nuls est dotée d’une valeur propre de Perron classique λs, qui est le plus grand réel tel qu’il existe un vecteur non-nul U ∈ R+ tel que λsU = ĀU . Le résultat suivant peut être vu comme une généralisation de celui de [3]. THÉORÈME 1. – On a toujours λper ≥ λs. Une inégalité analogue est aussi obtenue pour les deux autres cas considérés, d’un système discret en temps et du système d’EDP structurées en âge (6) qui décrit le cycle de division cellulaire.